Fragmento de los elementos de Euclides

Fragmento de los elementos de Euclides


Fragmento de los elementos de Euclides - Historia

Elementos de Euclides: una historia de 2.500 años
Bob Gardner
Universidad Estatal del Este de Tennessee
Departamento de Matemáticas y Estadística
Johnson City, TN 37614

Otras traducciones de Los elementos


Manuscrito Bodleiano (888 d.C.)
Imagen de: http://www.claymath.org/euclid/ El manuscrito de Bodleian data del 888 EC. Este manuscrito contiene los libros I a XV del Elementos con muchos "escolios" o comentarios explicativos.

El sitio web del Clay Mathematics Institute declara que esta edición es "el manuscrito 'completo' más antiguo de Euclides Elementos y, según el catálogo de la exposición de la Bodleian Library, es el manuscrito más antiguo de un autor griego clásico que lleva fecha. "Se ha conservado en la Bodleian Library, Oxford, Inglaterra desde 1804, fue escrito en pergamino en Constantinopla". Una copia digital completa está disponible en línea en el sitio web de Clay Mathematics (http://www.claymath.org/euclid/).


Manuscrito Vaticano Número 190 (Siglo X)
Imagen de: http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d-mathematics/Greek_math.html Manuscrito Vaticano Número 190. Data del siglo X. y contiene los Libros I a XII de Elementos con escolios, luego el comentario de Marinus sobre el Datos con escolios. Luego, los llamados "Libros XIV y XV" de la Elementos se presentan, seguidos de tres libros y parte de un cuarto de un comentario de Theon. Aunque se adjuntan comentarios de Theon, la investigación revela que el texto principal es más antiguo que otras versiones disponibles que muestran una influencia de la modificación de Theon [Heath, página 46].

  • Manuscrito XXXVIII, 3 de la Biblioteca Laurenciana de Florencia, Italia, que data del siglo X, incluye los Libros I-XV, Óptica, y Phaenomena.
  • Los manuscritos 18 y 19 de la Biblioteca Comunal de Bolonia, Italia del siglo XI incluyen los Libros I-XIII y Datos.
  • El manuscrito vienés del siglo XII que incluye los libros I-XV, Óptica, y Phaenomena.
  • Dos manuscritos de París del siglo XII.


El papiro Oxyrhynchus
Imagen de: http://scientists.penyet.net/euclid-the-father-of-geometry.html Existen algunos fragmentos antiguos de papiro que contienen partes de Los elementos. Uno de los más antiguos se llama Papiro Oxyrhynchus y data de alrededor del año 100 d.C. Aquí vemos un diagrama del Libro II, Proposición 5.


El primer impreso Elementos
Imagen de: http://www.historyofscience.com/G2I/timeline/index.php?category=Mathematics+%2F+Logic La primera versión impresa de Los elementos apareció en 1482 en Venecia. El texto se basó en una traducción del árabe al latín supuestamente realizada por Abelardo de Bath en el siglo XII, editada y anotada por Giovanni Compano. Incluía más de 400 figuras.


Contenido

Euclides fue un matemático griego que escribió Elementos en Alejandría durante el período helenístico (alrededor del 300 a. C.). Los eruditos creen que el Elementos es en gran parte una colección de teoremas probados por otros matemáticos, además de contener algunos trabajos originales. Proclo, un matemático griego que vivió varios siglos después de Euclides, escribe en su comentario de la Elementos: "Euclides, que reunió los Elementos, recopiló muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionó muchos de los de Theaetetus y también llevó a una demostración irrefutable de las cosas que sus predecesores sólo demostraron de forma un tanto vaga".

Una versión de un alumno de Euclides llamada Proclo fue traducida más tarde al árabe después de haber sido obtenida por los árabes de Bizancio y de esas traducciones secundarias al latín. La primera edición impresa apareció en 1482 (basada en la edición de 1260 de Giovanni Campano), y desde entonces ha sido traducida a muchos idiomas y publicada en alrededor de mil ediciones diferentes. En 1570, John Dee proporcionó un "Prefacio matemático" ampliamente respetado, junto con abundantes notas y material complementario, a la primera edición en inglés de Henry Billingsley.

También existen copias del texto griego, p. Ej. en la Biblioteca del Vaticano y la Biblioteca Bodleian en Oxford. Sin embargo, los manuscritos disponibles son de calidad muy variable e invariablemente incompletos. Mediante un análisis cuidadoso de las traducciones y los originales, se han elaborado hipótesis sobre el contenido del texto original (cuyas copias ya no están disponibles).

Textos antiguos que se refieren a la Elementos en sí mismo y para otras teorías matemáticas que estaban vigentes en el momento en que fue escrito también son importantes en este proceso. Estos análisis son realizados por J. L. Heiberg y Sir Thomas Little Heath en sus ediciones del texto.

También son importantes los escolios o anotaciones al texto. Estas adiciones, que a menudo se distinguían del texto principal (según el manuscrito), se acumularon gradualmente a lo largo del tiempo a medida que las opiniones variaban sobre lo que era digno de explicación o elucidación. Algunos de estos son útiles y se agregan al texto, pero muchos no lo son.


Fragmento de los elementos de Euclides - Historia

Euclides es conocido por casi todos los estudiantes de secundaria como el autor de Los elementos, el texto de largo estudio sobre geometría y teoría de números. Ningún otro libro, excepto la Biblia, ha sido traducido y circulado tan ampliamente. Desde el momento en que se escribió, se consideró una obra extraordinaria y fue estudiada por todos los matemáticos, incluso el matemático más grande de la antigüedad, Arquímedes, y así ha sido durante los 23 siglos que siguieron. Es, sin duda, el mejor texto de matemáticas jamás escrito y es probable que lo siga siendo en un futuro lejano.

Esta es una miniatura del manuscrito de los topógrafos romanos encontrado en Wolfenb & # 252ttel, siglo VI d.C.

Poco se sabe sobre Euclid, fl. 300BC, autor de The Elements. Enseñó y escribió en el Museo y Biblioteca de Alejandría, que fue fundado por Ptolomeo I.

Casi todo sobre él proviene del Comentario de Proclo, siglo IV d.C. Escribe que Euclides recopiló los teoremas de Eudoxo, perfeccionó muchos de los de Theaetetus y completó obras fragmentarias dejadas por otros.

Se dice que Euclides le dijo al primer Ptolomeo que preguntó si había una forma más corta de aprender geometría que los Elementos:

Los elementos: hechos básicos

  • escrito hace unos 2300 años,
  • no existen copias,
  • algunos tiestos que datan del 225 a. C. contienen notas sobre algunas proposiciones,
  • Se publicaron muchas ediciones nuevas (por ejemplo, Teón de Alejandría, siglo d.C.)
  • La copia más antigua data del 888 d.C., en Oxford.
  • Estilo: sin ejemplos, sin motivaciones, sin cálculos, sin comentarios ingeniosos, sin introducción, sin preámbulo, nada más que teoremas y sus demostraciones.
  1. Los elementos
  2. Datos: un volumen complementario de los primeros seis libros de los Elementos escritos para principiantes. Incluye métodos geométricos para la solución de cuadráticas.
  3. División de figuras: una colección de treinta y seis proposiciones relativas a la división de configuraciones planas. Sobrevivió sólo por traducciones al árabe.
  4. Phaenomena - en geometría esférica, es similar al trabajo de Autolycus
  5. Óptica: un trabajo temprano sobre perspectiva que incluye óptica, catóptrica y dioptría.

  1. Porismos: posiblemente una versión antigua de la geometría analítica.
  2. Loci de superficie -?
  3. Pseudaria -?

Los elementos - Estructura: trece libros

  • Libros I-VI - Geometría plana
  • Libros VII-IX - Teoría de los números
  • Libro X - Inconmensurables
  • Libro XI-XIII - Geometría sólida

Los elementos - Libro típico

  • Definiciones
  • Axiomas: obvios para todos
  • Postulados: particulares del tema en cuestión
  • Teoremas
  • Postulados - 5
    1. Dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
    2. Producir una línea recta finita continuamente en línea recta.
    3. Describir un círculo con cualquier centro y distancia.
    4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
    5. Que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que los ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que están los ángulos menores que los ángulos rectos.
  • Axiomas - 5
    1. Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí.
    2. Si se suman iguales a iguales, los totales son iguales.
    3. Si se restan iguales de iguales, los restos son iguales.
    4. Las cosas que coinciden son iguales entre sí.
    5. El todo es mayor que la parte.
  • Un silogismo: `` un silogismo en el discurso en el que, al decirse ciertas cosas, algo distinto de lo que se dice se sigue necesariamente de que sean así ''. Ejemplo: si todos los monos son primates y todos los primates son mamíferos, entonces se sigue que todos los monos son mamíferos.
  • modus ponens: Si p, entonces q. . Por tanto q.
  • modus tolens: Si p, entonces q. No q. Por lo tanto, no p.

Para probar este constructo circula en A y B de radio AB. Argumente que el punto de intersección C es equidistante de A y B, y dado que se encuentra en los círculos, la distancia es AB.

Tenga en cuenta que en la Proposición I-1, Euclides sólo puede apelar a las definiciones y postulados. Pero no usa los silogismos aristotélicos, sino que usa modus ponens. Tenga en cuenta también que hay una suposición sutil de la naturaleza continua del plano que se hace en la suposición visual de que los círculos se cruzan. Los defectos de este tipo permanecieron esencialmente sin resolver hasta los tiempos modernos.

Proposición I-4. (SAS) Si dos triángulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, y los ángulos contenidos por los lados iguales también son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

Nota: En los tratamientos modernos de geometría simple, esta proposición se da como un postulado.

Nota: El término moderno congruente se usa aquí, reemplazando la afirmación de Euclides de que `` cada parte de un triángulo es igual a la parte correspondiente del otro ''.

Proposición I-5. En los triángulos isósceles, los ángulos en la base son iguales entre sí y, si las líneas rectas iguales se siguen produciendo, los ángulos debajo de la base serán iguales entre sí.

Prueba. Extienda AC a D y AC a E. Marca de distancias iguales BF y CG en sus respectivos segmentos. Ahora argumente que dado que AF y AG son iguales y AC y AB son iguales y los triángulos ACF y ABG comparten el ángulo incluido en A, deben ser congruentes. Esto significa que los lados FC y GB son iguales. Por tanto, los triángulos FCB y GCB son (SAS) congruentes. Por tanto, los ángulos y son iguales, de lo que se sigue la conclusión.

Ésta es la prueba dada por Euclides. Muchos de los teoremas de Los elementos tienen demostraciones más simples, que se encuentran más adelante. Éste no es una excepción. Pappus dio la siguiente demostración: Observe que los dos triángulos BAC y CAB son congruentes SAS (lado-ángulo-lado). Por lo tanto, los ángulos en B y C son iguales.

Proposición I-6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales entre sí, entonces los lados opuestos también son iguales.

  1. B es igual a C. Asume.
  2. Suponga AB & gt AC. Haga D de modo que DC = AB.
  3. Ahora argumente que los triángulos ABC y DBC son congruentes.
  4. Por tanto, la parte es igual al todo.

Proposición I-29. Una línea recta que intersecta dos líneas rectas paralelas hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí, el ángulo exterior sea igual al ángulo interior y opuesto, y los ángulos interiores del mismo lado sean iguales a dos ángulos rectos.

  1. Asuma.
  2. Entonces la suma de y es mayor que la suma de y.
  3. Pero la primera suma son dos ángulos rectos. (Problema I-13.)
  4. Por lo tanto, la segunda suma es menor que dos ángulos rectos y, por lo tanto, la línea no es paralela.

Los Elementos - Libro II - 14 Teoremas

El Libro II es diferente al Libro I en que trata de rectángulos y cuadrados. Puede denominarse álgebra geométrica. Existe cierto debate entre los estudiosos de Euclides sobre si se extrajo directamente de las matemáticas babilónicas. En cualquier caso, definitivamente es más difícil leer ese material del Libro I.

Definición. Se dice que cualquier rectángulo está contenido por las dos líneas rectas que forman el ángulo recto.

Euclid nunca multiplica la longitud y el ancho para obtener el área. No existe tal proceso. Multiplica números (enteros) por la longitud.

II-1. Si hay dos líneas rectas, y una de ellas se corta en cualquier número de segmentos, el rectángulo contenido por las dos líneas rectas es igual a la suma de los rectángulos contenidos por la línea recta sin cortar y cada uno de los segmentos.

Debería ser evidente que esta es la ley distributiva para la multiplicación mediante la suma. Sin embargo, se expresa puramente en términos de geometría.

1. Sean A y BC las dos líneas. Haz los cortes aleatorios en D y E.

2. Dibuje BF perpendicular a BC y corte en G de modo que BG sea igual que A. Complete el diagrama como se muestra.

3. Entonces BH es igual a BK, DL, EH

4. Ahora argumenta que el todo es la suma de las partes.

II-2. Si se corta una línea recta al azar, el rectángulo que contiene el todo y ambos segmentos es igual al cuadrado del todo.

II-4. Si se corta una línea recta al azar, el cuadrado en su conjunto es igual a los cuadrados de los segmentos y el doble del rectángulo que contienen los segmentos.

Tenga en cuenta la simplicidad de visualización y comprensión del teorema del binomio para n = 2.

Muchas proposiciones dan soluciones geométricas a ecuaciones cuadráticas.

II-5. Si una línea recta se corta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo contenido por los segmentos desiguales del todo junto con el cuadrado de la línea recta entre los puntos de sección es igual al cuadrado de la mitad.

Esta proposición se traduce en la ecuación cuadrática

II-14. Construir un cuadrado igual a una figura rectilínea dada.

2. Construya en el punto medio de AB y produzca la línea EG de longitud (a + c) / 2.

3. Por lo tanto, la longitud del segmento FG es (a - c) / 2.

4. Extiende la línea CD a P y construye la línea GH de longitud (a + c) / 2 (H está en esta línea).

5. Según el teorema de Pitágoras, la longitud de la línea FH tiene un cuadrado dado por

Los elementos - Libro III - 37 teoremas

El libro III se refiere a los círculos, comienza con 11 definiciones sobre círculos. Por ejemplo, se da la definición de la igualdad de círculos (= si tienen el mismo diámetro). La tangencia es interesante porque se basa considerablemente en la intuición visual:

Definición 2. Se dice que una línea recta toca un círculo que, al encontrarse con el círculo y al producirse, no corta el círculo.

Deninición 3. Un segmento de un círculo es la figura contenida por una línea recta y la circunferencia de un círculo.

Otros conceptos son segmentos, ángulos de segmentos y semejanza de segmentos de círculos.

Euclides comienza con lo básico:

III-1. Encontrar el centro de un círculo dado.

III-2. Si en la circunferencia de un círculo se toman dos puntos al azar, la línea recta que une los puntos caerá dentro del círculo.

III-5. Si dos círculos se cortan (se tocan) entre sí, no tendrán el mismo centro.

El problema inverso: III-9. Si se toma un punto dentro de un círculo y más de dos líneas rectas iguales caen desde el punto en el círculo, el punto tomado es el centro del círculo.

III-11. Si dos círculos se tocan internamente y se toman sus centros, la línea recta que une sus centros, si también se produce, caerá sobre el punto de contacto.

III-16. La línea recta trazada en ángulo recto con el diámetro de un círculo desde su extremo caerá fuera del círculo, y en el espacio entre la línea recta y la circunferencia no se puede interponer otra línea recta. .

III-31. (Teorema de Thales) En un círculo, el ángulo del semicírculo es recto y, además,. .

Los elementos - Libro IV - 16 teoremas

La construcción de polígonos regulares era una preocupación de los griegos. Es evidente que se pueden construir triángulos y cuadrados equiláteros, es decir, inscribirse en un círculo. La bisección permite cualquier número de duplicaciones, p. Ej. hexágonos y octágonos. El pentágono inscrito es una construcción más desafiante. Este libro está dedicado a circunscribir e inscribir polígonos regulares e irregulares en círculos.

IV-5. Sobre un triángulo dado para circunscribir un círculo.

IV-10. Construir un triángulo isósceles que tenga cada uno de los ángulos en la base doble del restante.

IV-10 es la clave para demostrar el célebre

IV-11. En un círculo dado para inscribir un pentágono equilátero y equiangular.

Los Elementos - Libro IV - Actualización

La siguiente figura regular que se inscribió en un círculo fue el 17-gon. Y esto lo logró nada menos que un matemático que Carl Frederich Gauss en 1796, cuando solo tenía 18 años.

De hecho, cuando era estudiante en G & # 246ttingen, comenzó a trabajar en su importante publicación Disquisitiones Arithmeticae, uno de los grandes clásicos de la literatura matemática. Hacia el final de este trabajo, incluyó este resultado sobre el 17-gon pero más.

Demostró que los ÚNICOS polígonos regulares que se pueden inscribir en un círculo tienen

lados, donde m es un número entero y las p son números primos de Fermat.

Recuerde que los números primos de Fermat son números primos de la forma

Tenemos la siguiente tabla de polígonos que se pueden inscribir en un círculo:

¿Son todos esos números, primos? No, Euler demuestra que el siguiente es compuesto. No se conocen otros. Un contemporáneo de Gauss, Fernidand Eisenstein (1823-1852) conjeturó que el siguiente subconjunto de los números de Fermat consiste solo en números primos:

pero esto no ha sido verificado. Los tres primeros son los números primos de Fermat, 5, 17, 65,537. El siguiente número tiene más de 45.000 dígitos.

Los elementos - Libro V - 25 teoremas

El libro V trata la proporción y la proporción. Euclides comienza con 18 definiciones sobre magnitudes que comienzan con una parte, un múltiplo, una proporción, estar en la misma proporción y muchas otras. Considere la definición 5 en las mismas proporciones.

Definición 1. Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide la mayor.

Esto significa que divide al mayor sin resto.

Definición 4. Se dice que las magnitudes tienen una relación entre sí que son capaces, cuando se multiplican, de exceder a otras.

Este es esencialmente el axioma arquimediano: si a & lt b, entonces hay un número entero n tal que na & gt b.

En la teoría moderna de los espacios parcialmente ordenados, los espacios que tienen la denominada Propiedad Arquimediana juegan un papel especial.

Definición 5. Se dice que las magnitudes están en la misma razón, la primera a la segunda y la tercera a la cuarta, cuando, si se toman los equivalentes del primero y el tercero, y los equivalentes del segundo y el cuarto, el los primeros equimúltiplos exceden por igual, son iguales o no alcanzan a los últimos equimúltiplos respectivamente tomados en el orden correspondiente.

En notación moderna, decimos que las magnitudes, a, b, c, d están en la misma razón a: b = c: d si

V-1. Si hay cualquier número de magnitudes cualesquiera que sean, respectivamente, equivalentes de cualesquiera magnitudes iguales en multitud, entonces, cualquiera que sea el múltiplo de una de las magnitudes de uno, ese múltiplo también será de todos.

En notación moderna, sean las magnitudes y sea m el múltiplo. Luego,

V-8. De magnitudes desiguales, el mayor tiene a igual una relación mayor que el menor tiene y el mismo tiene a menor una relación mayor que tiene a mayor.

En términos modernos, sean a & gt by c. Luego

Los elementos - Libro VI - 33 teoremas

El libro VI trata sobre la similitud de figuras. Comienza con tres definiciones.

Definición 1. Figuras rectilíneas similares son aquellas que tienen sus ángulos varias veces iguales y los lados alrededor de los ángulos iguales son proporcionales.

Definición 3. La altura de cualquier figura es la perpendicular trazada desde el vértice hasta la base.

VI-1. Los triángulos y paralelogramos que están por debajo de la misma altura son entre sí como sus bases.

VI-5. Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales, los triángulos serán equiangulares y tendrán los ángulos iguales que subtienden los lados correspondientes.

VI-30. Cortar una línea recta finita dada en una proporción extrema y media.

Por supuesto, debes demostrar rigurosamente toda la similitud.

Los elementos - Libro VII - 39 teoremas

El libro VII es el primer libro de tres sobre teoría de números. Euclides comienza con definiciones de unidad, número, partes de, múltiplo de, número impar, número par, números primos y compuestos, etc.

Definición 11. Un número primo es el que se mide solo con la unidad.

Definición 12. Los números primos entre sí son aquellos que se miden solo con la unidad como medida común.

VII-21. Los números primos entre sí son los menores de los que tienen la misma proporción.

VII-23. Si dos números son primos entre sí, el número que mide a uno de ellos será primo al número restante.

VII-26. Si dos números son primos de dos números, ambos para cada uno, sus productos también serán primos entre sí.

VII-31. Cualquier número compuesto se mide por algún número primo.

VII-32. Cualquier número es primo o se mide por algún número primo.

Los elementos - Libro VIII - 27 teoremas

El libro VIII se centra en lo que ahora llamamos progresiones geométricas, pero los antiguos los llamaban proporciones continuas. Gran parte de esto se debe sin duda a Archytas of Tarentum, un pitagórico. Los números están en proporción continua si

que por supuesto es lo mismo.

VII-1. Si hay tantos números como queramos en proporción continua, y los extremos de ellos son primos entre sí, los números son los menores de los que tienen la misma proporción con ellos.

Considere 5: 3 y 8: 6 y 10: 6 y 16:12.

Los elementos - Libro VIII - 27 teoremas

VIII-8. Si entre dos números hay números en proporción continua con ellos, entonces, sin embargo, cualquier número entre ellos está en proporción continua, muchos también estarán en proporción continua entre números que están en la misma proporción que los números originales.

Euclides se ocupa en varias otras proposiciones del libro VIII de determinar las condiciones para insertar números proporcionales medios entre números dados de varios tipos. Por ejemplo,

VIII-20. Si un número proporcional medio cae entre dos números, los números serán números planos similares.

En el lenguaje moderno, suponga que a: x = x: b, luego

Los elementos - Libro IX - 36 teoremas

El último libro sobre teoría de números, el Libro IX, contiene resultados más familiares de la teoría de números de tipos.

IX-20. Los números primos son más que cualquier multitud asignada de números primos.

Prueba. Sean todos los números primos. Defina +1. Entonces, dado que N debe ser compuesto, uno de los primos, digamos. ¡Pero esto es absurdo!

Los elementos - Libro IX - 36 teoremas

IX-35. Si tantos números como queramos están en proporción continua, y se restan del segundo y el último número es igual al primero, entonces, como el exceso del segundo es para el primero, el exceso del último será para todos los anteriores.

Estamos diciendo que sean los números, Las diferencias son a (r -1) y. Entonces, el teorema afirma que

Los elementos - Libro X - 115 teoremas

Muchos historiadores consideran que este es el libro más importante. Es el más largo y probablemente el mejor organizado. El propósito es la clasificación de los inconmensurables. La primera proposición es fundamental. Es el método de agotamiento de Eudoxo.

X-I. Dándose dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad, y de la que queda una magnitud mayor que su mitad, y si este proceso se repite continuamente, quedará alguna magnitud menor que la mitad. menor de las magnitudes dadas.

Esta proposición permite un proceso de aproximación de longitud arbitraria.

X-36. Si solo se suman dos líneas rectas racionales conmensurables en cuadrado, el conjunto es irracional.

Los elementos - Libro X1-XIII

Los últimos tres capítulos de Los elementos tratan sobre geometría sólida y el uso de un proceso de limitación en la resolución de problemas de área y volumen. Por ejemplo,

XII-2. Los círculos son entre sí como los cuadrados de los diámetros.

Notará que no hay una `` fórmula '' expresada.

XII-7. Una pirámide es una tercera parte del prisma que tiene la misma base y la misma altura.


Fragmento de los elementos de Euclides - Historia

El dodecaedro y el icosaedro son los más exóticos de los sólidos platónicos, porque tienen una simetría rotacional de 5 veces, una posibilidad que solo existe para los politopos regulares en 2, 3 o 4 dimensiones. El dodecaedro y el icosaedro tienen el mismo grupo de simetría, porque son duales de Poincar y agudos: los vértices de uno corresponden a las caras del otro. Pero el icosaedro probablemente se descubrió más tarde. Como escribió Benno Artmann:

El conocimiento original del dodecaedro puede provenir de cristales de pirita, pero en contraste, el icosaedro es una creación matemática pura. Es la primera realización de una entidad que existía antes solo en el pensamiento abstracto. (¡Bueno, aparte de las estatuas de dioses!)

No estoy seguro de que sea realmente algo parecido a la primera "realización de una entidad que existía antes sólo en el pensamiento abstracto". Pero puede haber sido el primer objeto & quoteexceptional & quot en matemáticas; hablando con propiedad, una entidad que no encaja en ningún patrón fácil, que se descubre como parte de la demostración de un teorema de clasificación.

Otros objetos excepcionales incluyen el simple grupo de Lie E8, y el grupo simple finito M12. Curiosamente, muchos de estos objetos excepcionales & quot están relacionados. Por ejemplo, el icosaedro se puede utilizar para construir tanto E8 y M12. Pero el primer teorema de clasificación interesante fue la clasificación de poliedros regulares: poliedros convexos con polígonos equiláteros como caras y el mismo número de caras que se encuentran en cada vértice. Este teorema aparece casi al final del último libro de Elementos de Euclides: Libro XIII. Muestra que las únicas posibilidades son los sólidos platónicos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Y según la sabiduría tradicional, los resultados de este libro fueron probados por Theatetus, ¡quien también descubrió el icosaedro!

De hecho, Artmann cita una "nota antigua escrita en los márgenes del manuscrito" del Libro XIII, que dice:

Es posible que conozca a Theaetetus a través del diálogo de Platón del mismo nombre, donde se lo describe como un genio matemático. También se menciona en el diálogo de Platón llamado el sofista. En la República, escrita alrededor del 380 a.C., Platón se quejó de que no se sabe lo suficiente sobre la geometría sólida:

Theaetetus parece haber llenado el vacío: trabajó en geometría sólida entre 380 y 370 aC, quizás inspirado por el interés de Platón por el tema. Murió de heridas de batalla y disentería en 369 después de que Atenas libró una batalla con Corinto.

Pero, ¿qué tan seguros estamos de que Theatetus descubrió, o al menos estudió, el icosaedro? La única evidencia sólida parece ser esta "nota antigua" en los márgenes de los Elementos. Pero, ¿quién lo escribió y cuándo?

En primer lugar, si espera ver un manuscrito antiguo de Euclides con una nota garabateada en el margen, ¡prepárese para decepcionarse! Todo lo que tenemos son copias de copias de copias. Los fragmentos más antiguos que quedan de los Elementos datan de siglos después de la muerte de Euclides: algunos de una biblioteca en Herculano quemada por la erupción del Vesubio en el 79 d.C., un par de la región de Fayum cerca del Nilo, y algunos de un basurero en el Egipto. ciudad de Oxyrhynchus.

Hay varias líneas de copias de Elementos de Euclides. Comparando estos para adivinar el contenido del original Elements es una tarea difícil y fascinante. Desafortunadamente, en el siglo IV d.C., el matemático griego Teón de Alejandría, el padre de Hipatia, hizo una copia que se volvió extremadamente popular. ¡Tan popular, de hecho, que durante muchos siglos los eruditos europeos no conocieron una línea de copias que no hubiera pasado por Theon! Y Theon no era un copista fiel: agregó proposiciones adicionales, alargó algunas pruebas y también omitió algunas cosas. Parece que quería estandarizar el idioma y hacerlo más fácil de seguir. Esto puede haber ayudado a las personas que intentan aprender geometría, pero ciertamente no a los eruditos que intentan comprender a Euclides.

En 1808, Francois Peyrard hizo un descubrimiento maravilloso. ¡Descubrió que la biblioteca del Vaticano tenía una copia de los Elementos de Euclides que no había llegado a través de Theon!

Esta copia ahora se llama & quotP & quot. Se remonta aproximadamente al año 850 d.C. Me encantaría saber cómo lo consiguió Peyrard. Uno se lo imagina hurgando en un sótano polvoriento y abriendo un baúl. pero parece que Napoleón de alguna manera llevó este manuscrito del Vaticano a París.

En la década de 1880, el gran erudito danés Johan Heiberg usó & quotP & quot junto con varias copias & quotTheonine & quot de los Elementos para preparar lo que todavía se considera la edición griega definitiva de este libro. La importantísima traducción al inglés de Thomas Heath se basa en esto. Por lo que puedo decir, "P" es la única copia conocida de Euclides que no es teonina, excepto por los fragmentos que mencioné. Heath también usó estos fragmentos para preparar su traducción.

Esta es solo una descripción general rápida de una historia de detectives complicada. Como siempre, la textura fractal de la historia revela más complejidad cuanto más de cerca se mira.

De todos modos, Heath cree que Geminus of Rhodes escribió la "nota antigua" en los Elementos acreditando a Theatetus. No estoy seguro de por qué Heath piensa esto, pero Gémino de Rodas fue un astrónomo y matemático griego que trabajó durante el siglo I a.C.

En su encantador artículo "El descubrimiento de los sólidos regulares", William Waterhouse escribe:

Érase una vez ningún problema en la historia de los sólidos regulares. Según Proclo, los descubrimientos de Pitágoras incluyen "la construcción de los sólidos cósmicos", y los primeros historiadores solo podían suponer que el tema surgió completamente desarrollado de su cabeza. Pero una imagen mejor desarrollada del crecimiento de la geometría griega hizo que una fecha tan temprana pareciera cuestionable, y se descubrió evidencia que sugería una atribución diferente. E. Sachs hizo un estudio exhaustivo del testimonio, y su conclusión es ahora generalmente aceptada: la atribución a Pitágoras es un malentendido y / o invención posterior.

La historia de los sólidos regulares se basa casi por completo en un escolio de Euclides que dice lo siguiente:

En este libro, el 13, se construyen las 5 figuras denominadas platónicas, que sin embargo no pertenecen a Platón. Tres de estas 5 figuras, el cubo, la pirámide y el dodecaedro, pertenecen a los pitagóricos, mientras que el octaedro y el icosaedro pertenecen a Theaetetus.

Theaetetus vivió c. 415-369 a.C., por lo que esta versión da una fecha moderadamente tardía y tiene la considerable ventaja de parecer poco probable. Es decir, los detalles del escolio no son el tipo de historia que uno conjeturaría ingenuamente y, por lo tanto, probablemente no sea una de las historias inventadas en la antigüedad tardía. Como dice van der Waerden, el escolio es ahora ampliamente aceptado "precisamente porque contradice directamente la tradición que solía atribuir a Pitágoras todo lo que aparecía".

Pero los argumentos de probabilidad pueden actuar en ambos sentidos, y los estudiosos que dudan en aceptar el escolio lo hacen principalmente porque parece demasiado improbable. Ha habido dos puntos de fricción principales: primero, la precocidad del dodecaedro en comparación con el icosaedro y, segundo, el sorprendente retraso del octaedro. Sin embargo, la primera objeción ha sido bastante bien resuelta. El mineral pirita (FeS2) cristaliza con mayor frecuencia en cubos y dodecaedros casi regulares; está bastante extendido, siendo el sulfuro más común, y se encuentran cristales sobresalientes en varios lugares de Italia. Además, se produce regularmente mezclado con los minerales de sulfuro, y debajo de los minerales oxidados, estos depósitos de cobre se han trabajado desde la antigüedad más temprana. Así, los dodecaedros naturales eran conspicuos y, de hecho, llamaron la atención: se han encontrado dodecaedros artificiales en Italia que datan de antes del 500 a. C. Los cristales icosaédricos, por el contrario, son mucho menos comunes. Hence there is no real difficulty in supposing that early Pythagorean geometers in Italy were familiar with dodecahedra but had not yet thought of the icosahedron.

Indeed, while iron pyrite lo hace form "pseudoicosahedra":

I've never seen one, while the "pyritohedra" resembling regular dodecahedra are pretty common:

The puzzle of why the octahedron showed up so late seems to have this answer: it was known earlier, but it was no big deal until the concept of regular polyhedron was discovered! As Waterhouse says, the discovery of the octahedron would be like the discovery of the 4rd perfect number. Only the surrounding conceptual framework makes the discovery meaningful.

Hasta aquí todo bien. But maybe the Greeks were not the first to discover the icosahedron! In 2003, the mathematicians Michael Atiyah and Paul Sutcliffe wrote:

Various people including John McKay and myself spread this story without examining it very critically. I did read Dorothy Marshall's excellent paper "Carved stone balls", which catalogues 387 carved stone balls found in Scotland, dating from the Late Neolithic to Early Bronze Age. It has pictures showing a wide variety of interesting geometric patterns carved on them, and maps showing where people have found balls with various numbers of bumps on them. But it doesn't say anything about Platonic solids.

In March of 2009, Lieven le Bruyn posted a skeptical investigation of Atiyah and Sutcliffe's claim. For starters, he looked hard at the photo in their paper:

Who put on the ribbons? Lieven le Bruyn traced back the photo to Robert Lawlor's 1982 book Sacred Geometry. In this book, Lawlor wrote:

But is this really true? Le Bruyn discovered that the Ashmolean owns only 5 Scottish stone balls - and their webpage shows a photo of them, which looks quite different than the photo in Lawlor's book!

They have no ribbons on them. More importantly, they're different shapes! The Ashmolean lists their 5 balls as having 7, 6, 6, 4 and 14 knobs, respectively - nothing like an icosahedron.

And here is where I did a little research of my own. The library at UC Riverside has a copy of Keith Critchlow's 1979 book Time Stands Still. In this book, we see the same photo of stones with ribbons that appears in Lawlor's book - the photo that Atiyah and Suttcliffe use. In Critchlow's book, these stones are called "a full set of Neolithic 'Platonic solids'". He says they were photographed by one Graham Challifour - but he gives no information as to where they came from!

And Critchlow explicitly denies that the Ashmolean has an icosahedral stone! El escribe:

It seems the myth of Scottish balls shaped like Platonic solids gradually grew with each telling. Could there be any truth to it? Dorothy Marshall records Scottish stone balls with various numbers of knobs, from 3 to 135 - but just two with 20, one at the National Museum in Edinburgh, and one at the Kelvingrove Art Gallery and Museum in Glasgow. Do these look like icosahedra? I'd like to know. But even if they do, should we credit Scots with "discovering the icosahedron"? Perhaps not.

So, it seems the ball is in Theaetetus' court.

The quote from Benno Artmann appeared in a copy of the AMS Bulletin where the cover illustrates a construction of the icosahedron:

5) Benno Artmann, About the cover: the mathematical conquest of the third dimension, Bulletin of the AMS, 43 (2006), 231-235. Also available at http://www.ams.org/bull/2006-43-02/S0273-0979-06-01111-6/

For more, try this wonderfully entertaining book:

6) Benno Artmann, Euclid - The Creation of Mathematics, Springer, New York, 2nd ed., 2001. (The material on the icosahedron is not in the first edition.)

It's not a scholarly tome: instead, it's a fun and intelligent introduction to Euclid's Elements with lots of interesting digressions. A great book for anyone interested in math!

I should also get ahold of this someday:

7) Benno Artmann, Antike Darstellungen des Ikosaeders, Mitt. DMV 13 (2005), 45-50.

Heath's translation of and commentary on Euclid's Elements is available online thanks to the Perseus Project. The scholium crediting Theatetus for the octahedron and icosahedron is discussed here:

while the textual history of the Elements is discussed here:

9) Euclid, Elements, trans. Thomas L. Heath, Chapter 5: The Text, p. 46. Also available at http://old.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+5

Anyone interested in Greek mathematics also needs these books by Heath, now available cheap from Dover:

10) Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics. Vol. 1: From Thales to Euclid. Vol. 2: From Aristarchus to Diophantus. Dover Publications, 1981.

The long quote by Waterhouse comes from here:

11) William C. Waterhouse, The discovery of the regular solids, Arch. Hist. Exact Sci. 9 (1972-1973), 212-221.

I haven't yet gotten my hold on this "thorough study" mentioned by Waterhouse - but I will soon:

12) Eva Sachs, Die funf platonischen Koerper, zur Geschichte der Mathematik und der Elementenlehre Platons und der Pythagoreer, Berlin, Weidmann, 1917.

I also want to find this discussion of how Peyrard got ahold of the non-Theonine copy of Euclid's Elements:

13) N. M. Swerlow, The Recovery of the exact sciences of antiquity: mathematics, astronomy, geography, in Rome Reborn: The Vatican Library and Renaissance Culture, ed. Grafton, 1993.

Here is Atiyah and Sutcliffe's paper claiming that the Ashmolean has Scottish stone balls shaped like Platonic solids:

14) Michael Atiyah and Paul Sutcliffe, Polyhedra in physics, chemistry and geometry, available as arXiv:math-ph/0303071.

Here is le Bruyn's critical examination of that claim:

Here are the books by Critchlow and Lawlor -speculative books from the "sacred geometry" tradition:

16) Keith Critchlow, Time Stands Still, Gordon Fraser, London, 1979.

17) Robert Lawlor, Sacred Geometry: Philosophy and Practice, Thames and Hudson, London, 1982. Available at http://www.scribd.com/doc/13155707/robert-lawlor-sacred-geometry-philosophy-and-practice-1982

Here's the Ashmolean website:

18) British Archaeology at the Ashmolean Museum, Highlights of the British collections: stone balls, http://ashweb2.ashmus.ox.ac.uk/ash/britarch/highlights/stone-balls.html

and here's Dorothy Marshall's paper on stone balls:

In the process of researching my talk, I learned a lot about Euclid's Elements, where the construction of the icosahedron - supposedly due to Theaetetus - is described. This construction is Proposition XIII.16, in the final book of the Elements, which is largely about the Platonic solids. This book also has some fascinating results about the golden ratio and polygons with 5-fold symmetry!

The coolest one is Proposition XIII.10. Dice así.

Take a circle and inscribe a regular pentagon, a regular hexagon, and a regular decagon. Take the edges of these shapes, and use them as the sides of a triangle. Then this is a right triangle!

is the side of the pentagon,

is the side of the hexagon, and

is the side of the decagon, then

We can prove this using algebra - but Euclid gave a much cooler proof, which actually find this right triangle hiding inside an icosahedron.

First let's give a completely uninspired algebraic proof.

Start with a unit circle. If we inscribe a regular hexagon in it, then obviously

So we just need to compute P and D. If we think of the unit circle as living in the complex plane, then the solutions of

are the corners of a regular pentagon. So let's solve this equation. We've got

0 = z 5 - 1 = (z - 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1)

so ignoring the dull solution z = 1, we must solve

This says that the center of mass of the pentagon's corners lies right in the middle of the pentagon.

Now, quartic equations can always be solved using radicals, but it's a lot of work. Luckily, we can solve this one by repeatedly using the quadratic equation! And that's why the Greeks could construct the regular pentagon using a ruler and compass.

The trick is to rewrite our equation like this:

Now it's a quadratic equation in a new variable. So while I said this proof would be uninspired, it did require a tiny glimmer of inspiration. But that's all! Let's write

Solving this, we get two solutions. The one I like is the golden ratio:

This is another quadratic equation:

with two conjugate solutions, one being

I've sneakily chosen the solution that's my favorite 5th root of unity:

z = exp(2&pii/5) = cos(2&pi/5) + i sin(2&pi/5)

A fact we should have learned in high school, but probably never did.

Now we're ready to compute P, the length of the side of a pentagon inscribed in the unit circle:

Next let's compute D, the length of the side of a decagon inscribed in the unit circle! We can mimic the last stage of the above calculation, but with an angle half as big:

To go further, we can use a half-angle formula:

But we can simplify this a bit more. As any lover of the golden ratio should know,

Bueno. Your eyes have glazed over by now - unless you've secretly been waiting all along for This Week's Finds to cover high-school algebra and trigonometry. But we're done. We see that

That wasn't so bad, but imagine discovering it and proving it using axiomatic geometry back around 300 BC! How did they do it?

20) Ian Mueller, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements, MIT Press, Cambridge Massachusetts, 1981.

This is reputed to be be the most thorough investigation of the logical structure of Euclid's Elements! And starting on page 257 he discusses how people could have discovered P 2 = H 2 + D 2 by staring at an icosahedron!

This should not be too surprising. After all, there are pentagons, hexagons and decagons visible in the icosahedron. But I was stuck until I cheated and read Mueller's explanation.

If you hold an icosahedron so that one vertex is on top and one is on bottom, you'll see that its vertices are arranged in 4 horizontal layers. From top to bottom, these are:

  • 1 vertex on top
  • 5 vertices forming a pentagon: the "upper pentagon"
  • 5 vertices forming a pentagon: the "lower pentagon"
  • 1 vertex on bottom

Pick a vertex from the upper pentagon: call this A. Pick a vertex as close as possible from the lower pentagon: call this B. A is not directly above B. Drop a vertical line down from A until it hits the horizontal plane on which B lies. Call the resulting point C.

If you think about this, or better yet draw it, you'll see that ABC is a right triangle. And if we apply the Pythagorean theorem to this triangle we'll get the equation

To see this, we only need to check that:

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

Different circles, but of the same radius! What's this radius? Take all 5 vertices of the "upper pentagon". These lie on a circle, and this circle has the right radius.

Using this idea, it's easy to see that the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle. It's also easy to see that BC equals the edge of a decagon inscribed in a circle of the same radius. The hard part, at least for me, is seeing that AC equals the edge of a hexagon inscribed in a circle of the same radius. or in other words, the radius of that circle! (The hexagon seems to be a red herring.)

To prove this, we need a wonderful fact: the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

I just found a very beautiful proof. I could explain it easily with lots of pictures, but I'm too lazy to draw them electronically. I don't feel too guilty about this, though: I've given enough clues for you to figure everything out and draw the pictures yourself. It's lots of fun. And if you draw nice electronic pictures, I'd love to include them here and credit you!

Okay, okay. I'll give you one more hint. Consider the "top" vertex of the icosahedron and the 5 vertices forming the "upper pentagon". Dejar A be any vertex on the upper pentagon, and let B be the top vertex. Drop a vertical line from the top vertex until it hits the plane of the upper pentagon call the point where it hits C. Prove that the triangle ABC is congruent to the right triangle ABC. And using this, show the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

I thank Toby Bartels for help with some of this stuff.

Apéndice: Kevin Buzzard explained some of the Galois theory behind why the pentagon can be constructed with ruler and compass - or in other words, why the quartic

can be solved by solving first one quadratic and then another.

("this one" being z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.)

. y esa es because the Galois group of that específico irreducible polynomial is "only" cyclic of order 4. The splitting field is Q(&zeta5), which is a cyclotomic field, so has Galois group (Z/5Z)*. No Z/3Z factors so no messing around with cube roots, for example.

With this observation above, I'm trying to convince you that the proof really es completely uninspired To solve the quartic by solving two quadratics, you need to locate the degree 2 subfield of Q(z) (z=&zeta5) and aim towards it (because it's your route to the solution). This subfield is clearly the real numbers in Q(z), and the real numbers in Q(z) contains z+z*=z+z -1 . So that's sort of a completely conceptual explanation of why the trick works and why it's crucial to introduce z+z -1 .


Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus

This papyrus fragment is one of the the oldest, if not the oldest, existing text from Euclid&rsquos Elementos. Euclid compiled and wrote his Elementos in Alexandria, Egypt, in about 300 BCE, in Greek. The fragment, also written in Greek, was found in Egypt in 1897 and has been dated to the end of the first century CE. It is called the Oxyrhynchus papyrus, named after the place in Egypt where it was found. Archeologists B. P. Grenfell and A. S. Hunt uncovered an ancient rubbish dump from which they excavated many valuable finds, among which was this fragment. The text and diagram are from Euclid&rsquos Elementos, Book II, Proposition 5, which states:

If a straight line is cut into equal and unequal segments, the rectangle contained by the unequal segments of the whole, together with the square on the straight line between the points of the section, is equal to the square on the half.

The image was made by William Casselman, University of British Columbia, from the papyrus collection at the University of Pennsylvania and is used with his permission. For additional information about the papyrus, see Casselman's webpage about it, titled "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid."

Frank J. Swetz (The Pennsylvania State University), "Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus," Convergence (August 2013)


The books

Elements consists of 13 books, the first 6 refer to basic plane geometry. From the seventh to the tenth deals with all numerical issues Prime, radical, and divisibility numbers. The last 3 books cover topics on geometry of solids, polyhedra and circumstantial spheres. To consult the published books, you can follow the following link.

  • Book I
  • Book II
  • Book III
  • Book IV
  • Book V
  • Book VI
  • Book VII
  • Book VIII
  • Book IX
  • Book X
  • Book XI
  • Book XII
  • Book XIII

Book XII and Book XIII are complete and available in Spanish-Catalan, comparable to Heath’s text. With a multitude of pending corrections, we hope the start of the new phase that begins the project.


The Reader Intervention

los Elementos, which contains 13 volumes, has appeared in at least hundreds of editions, and until the last century it was the second-best-selling book in the world. (The Bible was first.) But not everything in the Elementos came from Euclid. The volumes represent a collection of mathematics knowledge known to the Greeks at the time. Physicist Stephen Hawking described Euclid as “the greatest mathematical encyclopedist of all time,” likening him to Noah Webster, who assembled the first English language dictionary (2).

los Elementos was translated from Greek, Arabic, Latin, Hebrew, and other languages. The treatise evolved as it grew and migrated—and so did the diagrams. Readers made notes in the margins and inserted changes. Later readers and translators saw both the manuscript and the additions and made revisions that seemed appropriate for their time. Those interactions are captured in transcriptions of the proofs and diagrams in the Elementos, and the act of copying became an act of transformation, says Eunsoo Lee, a PhD student at Stanford University studying the evolution of diagrams over time in the Elements.

“We may easily forget about the role of readers in the making of diagrams,” says Lee, noting that they could intervene or intermingle by marking on the manuscript. Later, scribes took those notes into consideration. “If they determined that the marginal diagrams [were] superior to the main diagrams,” explains Lee, “the marginal diagrams were adopted as the main diagrams for later generations.” These visual changes conveyed mathematical ideas in ways that couldn't be transmitted through text.

It’s too simplistic to call these changes errors. Some of the changes may have been intended as improvements others arose from cultural practices. Arabic reads right-to-left, for example, so in early Arabic versions of the Elementos the orientations of its diagrams were often flipped—angles that opened to the left in ancient Greek manuscripts opened to the right in the Arabic versions. However, when those Arabic versions were translated into Latin, some scribes didn’t flip the diagrams back.

Mathematician Robin Hartshorne, retired from the University of California, Berkeley, further argues that it’s not necessarily fair to see changing the diagrams as a corrective process. Even with curves and erasures, those pentadecagon diagrams got the point across. Printing the Elementos with accurate diagrams reflects the values of a time, he says, but it's a practice disloyal to earlier versions. “I would call it redrawing the diagram to the taste of modern mathematicians who like to see metrical exactness,” says Hartshorne.

“These are hand-drawn diagrams of things that are not necessarily easy to represent,” adds science historian Courtney Roby, who studies ancient scientific texts at Cornell University, in Ithaca, New York. “Diagrams are the creations of individual authors and scribes, and their creativity and experimentation and change.”


The History of Physics #1 – Introduction

With its form and content, physics has started in a way with Galileo Galilei (1564-1642) and Sir Isaac Newton’s (1642-1727) works.

Newton’s “Philosophiae Naturalis Principa Mathematica” or just “Principia” published in 1686 has 3 books and is one of the most important sources for modern science.

This title describes this branch of science named physics in a really nice way. Physics are based on movement at the most basic level.

Movement is the way things change their places in space and time. The terms space and time are more than what a normal human brain can process make the word “Movement” harder to understand.

2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library.

Another thing that makes movement hard to understand is that movement is relative to the observer and never the same to two or more places or observers. Movement changes accordingly to the place the observer observes.

These differences in observations gave scientists the suspicion of the way something moves to be able to change according to the observation system.

Even though Newton’s “Principia” has the mathematical basis of classical physics, the base terms of physics have been put forth by Galileo.

Because of that, it would be more appropriate if we thought of physics as before and after Galileo. The “before Galileo” era of physics had far less information for understanding the world around us.

To interpret the ideas and experiences of that era with our advanced knowledge would be extremely meaningless, but Ancient Greek philosophers’ thoughts and ways of thinking have built up the base knowledge of both classical (1600-1900) and modern (1900-today) physics.

The most important thing that made physics go forth in the ancient era is most probably Eukleides (325-265 B.C.) redefining geometry and putting it into a systematic order.

One of the oldest surviving fragments of Euclid’s Elementos, found at Oxyrhynchus and dated to circa AD 100 (P. Oxy. 29). The diagram accompanies Book II, Proposition 5

Eukleides’ book named “Stoikhea” consists of 13 installments and it’s the first systematic debate about geometry. Some of the axioms’ debates in this book were relevant until the end of 19. Century. Then they realized the flaws and perfected them.

  1. Cover image: Various examples of physical phenomena collage by Daniele Pugliesi (Public Domain)
  2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library. (CC BY-SA 4.0)
  3. One of the oldest surviving fragments of Euclid’s Elementoshttp://www.math.ubc.ca/

Tunçer Efe Kıray

I'm Efe, 16. I'm studying at the Istanbul High School , one of the most prestigious high schools in Turkey. I have been a professional chess player for 9 years. I want to study Physics at the university.


Ver el vídeo: Los elementos de Euclides